Dès le IIIe millénaire avant notre ère, les Egyptiens utilisaient le système décimal qui ne semblait pas avoir possédé le zéro. À la différence des numérations modernes, leur système était additif : les unités, les dizaines et les centaines étaient désignées par des signes différents, que l’on répètait autant de fois qu’il était nécessaire. C’était un système de numération non positionnel parce que la lecture du nombre ne dépendait pas de la place des signes représentant les unités, les dizaines, les centaines, etc.

Question : Comment écrivait-on 2003 ?

Réponse :

La numération babylonienne utilisaient deux systèmes de numération. Dans les textes scientifiques, c’était un système de numération positionnelle dont la base était sexagésimale. Dans le système positionnel, la valeur d’un signe numérique dépend de sa position relative au sein du nombre écrit. Dans les textes non scientifiques, on rencontre un assemblage par dizaines comportant des signes numériques combinés selon un principe additif de juxtaposition. Dans les ouvrages arabes, le système sexagésimal est désigné comme la méthode des astronomes. Il est parvenu en terre d’Islam par les traductions en arabe du syriaque et du persan.

Dans les textes sanskrits, les nombres étaient nommés en toutes lettres ou symbolisés par des arrangements alphabétiques. Ainsi nayana (œil) ou bahu (bras) sont des noms du nombre 2. Agni (le feu) désigne 3 parce qu’il y a trois feux rituels védiques. Adri désigne 7, les sept montagnes de l’Inde dans la géographie religieuse. Le zéro est symbolisé par le « ciel » ou « l’espace ». Ce symbolisme est utile pour écrire sous forme versifiée.

Avant le IIIe H. / IXe siècle ap. J.-C., les Arabes notaient les nombres à l’aide de mots. Les savants arabes, présents en Inde dès le IIe H. / VIIIe siècle ap. J.-C. firent dans les textes sanskrits deux découvertes capitales : l’écriture des nombres dans le système décimal avec la notion de zéro d’une part et la trigonométrie des sinus d’autre part. Au Ier H. / VIIe siècle ap. J.-C., sur les bords de l’Euphrate, en Syrie, Sévère Sébokht, évêque érudit, exprime son admiration pour les méthodes de calcul hindou : « Je ne parlerai pas de la science des hindous, de leurs découvertes astucieuses, découvertes qui sont plus ingénieuses que celles des Grecs et des Babyloniens ; leur précieuse méthode de calcul . Je signalerai seulement que ces calculs se font à l’aide de 9 signes ».

Au IIIe H. / IXe siècle ap. J.-C., dans son traité d’arithmétique perdu dans sa version arabe et connu grâce à une traduction latine, al-Khwârizmî explique pour la première fois le système indien de numération (les neuf chiffres et le zéro, sifr) et les opérations de calcul effectuées sur la base du système de position.

Les chiffres arabes d’Orient (de l’Egypte aux confins de l’Asie centrale)

Les chiffres arabes d’occident (en usage au Maghreb et en al-Andalus, sud de l’Espagne actuelle)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 0

Il existait aussi un système de numération positionnelle à 27 symboles, dits « chiffres rumi » (c’est-à-dire byzantins) appelés aussi « chiffres de Fès » qui a perduré jusqu’au XIe H. / XVIIe siècle ap. J.-C. dans les administrations judiciaires et comptables de certaines villes du Maghreb.

Néanmoins, c’est incontestablement le système décimal positionnel indien qui va être l’outil de calcul par excellence.

Le calcul indien se faisait sur la poussière ou le sable. Le scribe répandait du sable sur une tablette, appelée abaque ou takht en persan et dessinait avec les doigts ou à l’aide d’une baguette recourbée les chiffres dont il avait besoin. Il les effaçait ensuite au fur et à mesure pour placer les résultats intermédiaires jusqu’à parvenir au résultat final. Le mathématicien ibn al-Bannâ’ cite la tablette de sable dans ses ouvrages. A Maraghâ, Nasîr al-Dîn al-Tûsî consacra un ouvrage à l’arithmétique des tablettes de sable.
L’une des premières réalisations des mathématiciens arabes fut de perfectionner ce système, en remplaçant par exemple la tablette par le papier et l’encre qui permettaient de conserver les étapes successives de calcul. Néanmoins, la tradition de l’abaque resta enracinée et le nouveau système mit plusieurs générations à être complètement adopté.

Le « calcul digital », désigné comme l’arithmétique des Rum (Byzantins) et des Arabes, consistait à calculer avec ses doigts. Il était utilisé par exemple pour les transactions commerciales. C’est un système essentiellement mental qui impliquait d’avoir une excellente mémoire, car il fallait retenir les résultats intermédiaires. On utilisait les doigts qui, repliés et placés dans différentes positions (les « nœuds »), permettaient de représenter les nombres de 1 à 9999. Le système s’appelait donc « l’arithmétique des nœuds » (hisâb al-uqûd). L’ouvrage le plus ancien que l’on connaisse sur ce type de calcul est celui de Abû al-Wafâ’ al-Bûzjânî (IVe H. / Xe ap. J.-C.).

Les recherches en arithmétique se sont orientées vers l’étude des nombres premiers qui a commencé avec les travaux de Thâbit ibn Qurra (IVe H. / Xe ap. J.-C.) sur les nombres parfaits et les nombres amiables. Traducteur du livre de Nicomaque, réviseur d’une traduction des Éléments d’Euclide, il énonce et démontre le plus important théorème connu sur les nombres amiables qui porte aujourd’hui son nom. Ce travail sur les nombres amiables sera poursuivi par al-Fârisî (VIIIe H. / XIVe siècle ap. J.-C.) qui aboutit à une nouvelle étude : celle des deux premières fonctions arithmétiques, la somme des diviseurs d’un entier et le nombre de ces diviseurs. L’analyse des conclusions d’al-Fârisî montre que dès le XIVe, on était parvenu à un ensemble de résultats et de techniques attribués jusque-là aux mathématiciens du XIe H. / XVIIe siècle ap.J.-C.

Ibn al-Banna décrit dans cette page les deux systèmes de numération connus dans le monde musulman. Il les appelle tous les deux "« chiffres ghubar ». Il montre avec clarté comment écrire les nombres selon le système décimal de position où la place du chiffre décide de sa valeur dans le nombre ; par exemple, le nombre 20 est composé du chiffre 2 dans le rang des dizaines et du zéro dans le rang des unités.

Les « chiffres ghubar » (poussière) – ce sont les chiffres que nous utilisons aujourd’hui en Europe - sont au nombre de 9. On les appelle ainsi car les calculs sont opérés sur une planchette recouverte de poussière (takht) et supposent que l’on efface ou déplace des nombres en remplaçant par le résultat final un des nombres donnés.